Question

10．已知向量$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AC}$、$\overrightarrow{AD}$满足$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AD}$，|$\overrightarrow{AB}$|=2，|$\overrightarrow{AD}$|=1，E、F分别是线段BC、CD的中点，若$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$=-$\frac{5}{4}$，则向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$的夹角为（　　）

• A． $\frac{π}{6}$
• B． $\frac{π}{3}$
• C． $\frac{2π}{3}$
• D． $\frac{5π}{6}$

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$求得＜$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CD}$＞的值，即可求出向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$的夹角．

解答 解：如图所示，
$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{BF}$=（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CD}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CD}$-$\overrightarrow{CB}$）=$\frac{5}{4}$$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{CB}}^{2}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{CD}}^{2}$=-$\frac{5}{4}$；
由|$\overrightarrow{CD}$|=|$\overrightarrow{BC}$|=2，|$\overrightarrow{BC}$|=|$\overrightarrow{AD}$|=1，
可得$\overrightarrow{CB}$•$\overrightarrow{CD}$=1，
∴cos＜$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{1}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CD}$＞=$\frac{π}{3}$，
即向量$\overrightarrow{AB}$与$\overrightarrow{AD}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故选：B．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了向量的加法、减法运算问题，是综合题．