Question

20．设函数f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3a+2}{2}$x²+6ax+b，其中a，b∈R．
（1）若函数f（x）在x=1处取得极值-$\frac{1}{6}$，求a，b的值；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）求出f′（x）=x²-（3a+2）x+6a，由函数f（x）在x=1处取得极值-$\frac{1}{6}$，列出方程组，能求出a，b．
（2）由f′（x）=x²-3x+2，利用导数性质能求出函数f（x）的单调递增区间．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3a+2}{2}$x²+6ax+b，其中a，b∈R，
∴f′（x）=x²-（3a+2）x+6a，
∵函数f（x）在x=1处取得极值-$\frac{1}{6}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（1）=\frac{1}{3}-\frac{3a+2}{2}+6a+b=-\frac{1}{6}}\\{{f}^{'}（1）=1-（3a+2）+6a=0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{1}{3}$，b=-1．
（2）由（1）得f（x）=$\frac{{x}^{3}}{3}$-$\frac{3}{2}{x}^{2}$+2x-1，
∴f′（x）=x²-3x+2，
由f′（x）=x²-3x+2＞0，得x＞2或x＜1，
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1]，[2，+∞）．

点评 本题考查导数及其应用、不等式、函数等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、分类与整合思想，是中档题．