Question

9．如图，矩形ABCD中，AB=2$\sqrt{2}$，AD=$\sqrt{2}$，M为DC的中点，将△DAM沿AM折到△D′AM的位置，AD′⊥BM．
（1）求证：平面D′AM⊥平面ABCM；
（2）若E为D′B的中点，求二面角E-AM-D′的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出∠AMB=90°，D'A⊥BM，从而BM⊥面D'AM，由此能证明面ABCM⊥面D'AM．
（Ⅱ）在平面D'AM内过M作直线NM⊥MA，以M为原点，$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{MN}$分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E-AM-D'的余弦值．

解答 证明：（Ⅰ）由题知，在矩形ABCD中，∠AMD=∠BMC=45°，
∴∠AMB=90°，
又D'A⊥BM，∴BM⊥面D'AM，
∵BM?面ABCM，
∴面ABCM⊥面D'AM；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在平面D'AM内过M作直线NM⊥MA，则NM⊥平面ABCM，
故以M为原点，$\overrightarrow{MA}，\overrightarrow{MB}，\overrightarrow{MN}$分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则M（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），D'（1，0，1），
于是$E（\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MA}=（2，0，0）$，$\overrightarrow{ME}=（\frac{1}{2}，1，\frac{1}{2}）$，
设平面EAM的法向量为$\overrightarrow m=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}2x=0\\ \frac{1}{2}x+y+\frac{1}{2}z=0\end{array}\right.$令y=1，得平面EAM的一个法向量$\overrightarrow m=（0，1，-2）$，
平面D'AM的一个法向量为$\overrightarrow n=（0，1，0）$，
故$cos＜\overrightarrow m，\overrightarrow n＞=\frac{1}{{\sqrt{5}}}$，
即二面角E-AM-D'的余弦值为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查二面角及直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归转化思想，数形结合思想，是中档题．