Question

4．在直角坐标系xOy中，动圆M与圆${O_1}：{x^2}+2x+{y^2}=0$外切，同时与圆${O_2}：{x^2}+{y^2}-2x-24=0$内切．
（1）求动圆圆心M的轨迹方程；
（2）设动圆圆心M的轨迹为曲线C，设A，P是曲线C上两点，点A关于x轴的对称点为B（异于点P），若直线AP，BP分别交x轴于点S，T，证明：|OS|•|OT|为定值．

Answer 1

分析 （1）求出两个圆的圆心与半径，设动圆圆心M（x，y），推出|MO₁|+|MO₂|=6＞|O₁O₂|，由椭圆定义知，圆心M的轨迹为椭圆，求解动圆圆心M的轨迹方程即可．
（2）设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），S（x_S，0），T（x_T，0），则B（x₁，-y₁），求出：|OS|•|OT|的表达式，通过P（x₀，y₀）和A（x₁，y₁）在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$上，化简求解即可．

解答 解：（1）由圆${O_1}：{x^2}+2x+{y^2}=0$，得（x+1）²+y²=1，所以O₁（-1，0），半径为1；由圆${O_2}：{x^2}+{y^2}-2x-24=0$，得（x-1）²+y²=25，所以O₂（1，0），半径为5，设动圆圆心M（x，y），半径为R，因为⊙M与⊙O₁外切，所以|MO₁|=R+1，又因为⊙M与⊙O₂外切，所以|MO₂|=5-R，将两式相加得|MO₁|+|MO₂|=6＞|O₁O₂|，由椭圆定义知，圆心M的轨迹为椭圆，且2a=6，c=1，则a²=9，b²=8，所以动圆圆心M的轨迹方程为$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$．
（2）证明：设P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），S（x_S，0），T（x_T，0），则B（x₁，-y₁），由题意知x₀≠±x₁．则${k_{AP}}=\frac{{{y_1}-{y_0}}}{{{x_1}-{x_0}}}$，直线AP方程为y-y₁=k_AP（x-x₁），令y=0，得${x_S}=\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}$，同理${x_T}=\frac{{{x_0}（{-{y_1}}）-{x_1}{y_0}}}{{（{-{y_1}}）-{y_0}}}=\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}$，于是$|{OS}|•|{OT}|=|{{x_S}{x_T}}|=|{\frac{{{x_0}{y_1}-{x_1}{y_0}}}{{{y_1}-{y_0}}}•\frac{{{x_0}{y_1}+{x_1}{y_0}}}{{{y_1}+{y_0}}}}|=|{\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{y_1}^2-{y_0}^2}}}|$，
又P（x₀，y₀）和A（x₁，y₁）在椭圆$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{8}=1$上，故${y_0}^2=8（{1-\frac{{{x_0}^2}}{9}}），{y_1}^2=8（{1-\frac{{{x_1}^2}}{9}}）$，则${y_1}^2-{y_0}^2=\frac{8}{9}（{{x_0}^2-{x_1}^2}），{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2=8{x_0}^2（{1-\frac{{{x_1}^2}}{9}}）-8{x_1}^2（{1-\frac{{{x_0}^2}}{9}}）=8（{{x_0}^2-{x_1}^2}）$．
所以$|{OS}|•|{OT}|=|{\frac{{{x_0}^2{y_1}^2-{x_1}^2{y_0}^2}}{{{y_1}^2-{y_0}^2}}}|=|{\frac{{8（{{x_0}^2-{x_1}^2}）}}{{\frac{8}{9}（{{x_0}^2-{x_1}^2}）}}}|=9$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，椭圆的简单性质的应用，圆锥曲线有关的定值问题的求法，考查转化思想，设而不求方法的应用，考查分析问题解决问题的能力．