Question

1．若函数$f（x）=3+\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}+sin2x$在区间[-k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，则m+n等于（　　）

• A． 0
• B． 2
• C． 4
• D． 6

Answer 1

分析 由已知函数解析式可得f（x）+f（-x）=6，结合f（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值，令k=1得答案．

解答 解：∵$f（x）=3+\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}+sin2x$，
∴f（-x）=3+$\frac{{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}+sin（-2x）$=3-$\frac{{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}-sin2x$，
∴f（x）+f（-x）=6．①
又f（x）在区间[-k，k]（k＞0）上的值域为[m，n]，
即无论k取什么样的正实数都应有最大值与最小值的和是一个确定的值，
故可令k=1，由于函数$f（x）=3+\frac{{{2^x}-1}}{{{2^x}+1}}+sin2x$在区间[-k，k]（k＞0）上是一个增函数，
故m+n=f（k）+f（-k）
由①知，m+n=f（k）+f（-k）=6．
故选：D．

点评 本题考查函数的值域，考查函数的奇偶性与单调性的性质，属中档题．