Question

15．已知集合A={a₁，a₂，a₃，a₄}，B={0，1，2，3}，f是从A到B的映射．
（1）若B中每一元素都有原象，则不同的映射f有多少个？
（2）若f满足f（a₁）+f（a₂）+f（a₃）+f（a₄）=4，则不同的映射f又有多少个？

Answer 1

分析 （1）根据题意，分析可得从A到B的映射f是一一对应的，由排列数公式计算可得答案；
（2 ）根据题意，分为如下四种情况讨论：1、A中每一元素都与1对应，2、A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，3、A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，4、A中两个元素与0对应，有一个元素对应1，令一个元素对应3，分别求出每一种情况下的对应方法，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：（1）根据题意，B中每一元素都有原象，
则从A到B的映射f是一一对应的，
故不同的映射f共有A₄⁴=24个
（2 ）根据题意，分为如下四种情况讨论：
1、A中每一元素都与1对应，有1种方法；
2、A中有两个元素对应1，一个元素对应2，另一个元素与0对应，有C₄²A₂²=12种方法；
3、A中有两个元素对应2，另两个元素对应0，有C₄²=6种方法；
4、A中两个元素与0对应，有一个元素对应1，令一个元素对应3，有C₄²A₂²=12种方法；
则不同的映射有：1+12+6+12=31个．

点评 本题考查排列组合的运用，涉及映射、像与原像的定义，解题是一方面要结合排列、组合的公式进行分析，其次要结合映射的．