【题目】已知函数,
,其中
.
讨论函数
与
的图象的交点个数;
若函数
与
的图象无交点,设直线
与的数
和
的图象分别交于点P,
证明:
.
【答案】(1)见解析(2)见证明
【解析】
原问题等价于求解方程
根的个数,据此构造函数,分类讨论即可确定交点的个数;
由
可知,当函数
与
的图象无交点时,
,据此构造函数证明题中的不等式即可.
函数
与
的图象交点个数即方程
根的个数,
设,
.
则在
上单调递增,且
.
当时,
,则
在
上单调递减;
当时,
,,则
在
上单调递增.
所以,当时,
.
当,即
时,函数
无零点,即函数
与
的图象无交点;
当时,函数
有一个零点,即函数
与
的图象有一个交点;
当时,
又
.
,所以
在
和
上分别有一个零点.
所以,当时,
有两个零点,即函数
与
的图象有两个交点.
综上所述:当时,函数
与
的图象的交点个数为0;
当时,函数
与
的图象的交点个数为1;
当时,函数
与
的图象的交点个数为2.
由
可知,当函数
与
的图象无交点时,
.
设,
,由得
,由
得
,
.
设,
先证明不等式,再证明
,
.
设则
.
当时,
,
在
上单调递增,
当时,
,
在
上单调递减,
所以,即
.
设则
.
当时,
,
单调递减:
当时,
,
单调递增.
所以,即
.
所以.
因为时,
中等号成立,
时,
中等号成立,
而,所以等号不能同时成立.
所以.
所以.
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【题目】给出下列四个说法,其中正确的是( )
A.命题“若,则
”的否命题是“若
,则
”
B.“”是“双曲线
的离心率大于
”的充要条件
C.命题“,
”的否定是“
,
”
D.命题“在中,若
,则
是锐角三角形”的逆否命题是假命题
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【题目】已知椭圆:
的焦距与短轴长相等,椭圆上一点
到两焦点距离之差的最大值为4.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若点为椭圆上异于左右顶点
,
的任意一点,过原点
作
的垂线交
的延长线于点
,求
的轨迹方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
:
,过抛物线焦点
且与
轴垂直的直线与抛物线相交于
、
两点,且
的周长为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过焦点且斜率为1的直线
与抛物线
相交于
、
两点,过点
、
分别作抛物线
的切线
、
,切线
与
相交于点
,求:
的值.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,椭圆
:
上的动点到一个焦点的最远距离与最近距离分别是
与
,
的左顶点为
与
轴平行的直线与椭圆
交于
、
两点,过
、
两点且分别与直线
、
垂直的直线相交于点
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)证明点在一条定直线上运动,并求出该直线的方程;
(3)求面积的最大值.
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【题目】已知函数.
(1)若曲线在点
处的切线与直线
垂直,求函数
的单调区间;
(2)若对于任意都有
成立,试求
的取值范围;
(3)记.当
时,函数
在区间
上有两个零点,求实数
的取值范围。
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【题目】将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成个同样大小的小正方体,从这些小正方体中任意取两个,这两个都恰是两面涂色的概率是( )
A. B.
C.
D.
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【题目】某地统计局就该地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画了样本的频率分布直方图(每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在[1000,1500)).
(1)求居民月收入在[2000,2500)的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数;
(3)在月收入为[2500,3000),[3000,3500),[3500,4000]的三组居民中,采用分层抽样方法抽出90人作进一步分析,则月收入在[3000,3500)的这段应抽多少人?
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