【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线
:
,过抛物线焦点
且与
轴垂直的直线与抛物线相交于
、
两点,且
的周长为
.
(1)求抛物线的方程;
(2)若过焦点且斜率为1的直线
与抛物线
相交于
、
两点,过点
、
分别作抛物线
的切线
、
,切线
与
相交于点
,求:
的值.
【答案】(1);(2)0.
【解析】
(1)将代入抛物线
的方程可得点
、
的坐标分别为
、
,进而利用三角形的周长为
,列出方程,求得
,即可得到抛物线的方程;
(2)将直线方程为
与抛物线的方程联立,利用根与系数的关系,得到直线
的方程,进而得到点
的坐标为
,再利用抛物线的几何性质,即可作出证明。
(1)由题意知,焦点的坐标为
,
将代入抛物线
的方程可求得
,解得
,
即点、
的坐标分别为
、
,
又由,
,
可得的周长为
,即
,解得
,
故抛物线的方程为
.
(2)由(1)得,直线
方程为
,
联立方程消去
整理为:
,则
,
所以,
.
又因为,则
,
∴可得直线的方程为
,整理为
.
同理直线的方程为
.
联立方程,解得
,则点
的坐标为
.
由抛物线的几何性质知,
,
.
有
.
∴.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线
的准线为
,其焦点为F,点B是抛物线C上横坐标为
的一点,若点B到
的距离等于
.
(1)求抛物线C的方程,
(2)设A是抛物线C上异于顶点的一点,直线AO交直线于点M,抛物线C在点A处的切线m交直线
于点N,求证:以点N为圆心,以
为半径的圆经过
轴上的两个定点.
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【题目】有一片产量很大的水果种植园,在临近成熟时随机摘下某品种水果100个,其质量(均在l至11kg)频数分布表如下(单位: kg):
分组 | | | | | |
频数 | 10 | 15 | 45 | 20 | 10 |
以各组数据的中间值代表这组数据的平均值,将频率视为概率.
(1)由种植经验认为,种植园内的水果质量近似服从正态分布
,其中
近似为样本平均数
近似为样本方差
.请估算该种植园内水果质量在
内的百分比;
(2)现在从质量为 的三组水果中用分层抽样方法抽取14个水果,再从这14个水果中随机抽取3个.若水果质量
的水果每销售一个所获得的的利润分别为2元,4元,6元,记随机抽取的3个水果总利润为
元,求
的分布列及数学期望.
附:
,则
.
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【题目】七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具,它由五块等腰直角三角形,一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道:近又有七巧图,其式五,其数七,其变化之式多至千余.体物肖形,随手变幻,盖游戏之具,足以排闷破寂,故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形,若在此正方形中任取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )
A. B.
C.
D.
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【题目】如图,已知椭圆,左、右焦点分别为
,
,右顶点为
,上顶点为
,
为椭圆上在第一象限内一点.
(1)若.
①求椭圆的离心率;
②求直线的斜率.
(2)若,
,
成等差数列,且
,求直线
的斜率的取值范围.
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【题目】已知为坐标原点,抛物线
:
与直线
:
交于点
,
两点,且
.
(1)求抛物线的方程;
(2)线段的中点为
,过点
且斜率为
的直线交抛物线
于
,
两点,若直线
,
分别与直线
交于
,
两点,当
时,求斜率
的值.
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