Question

设函数f（x）=

2x+1

x

（x＞0），数列{a_n}满足a₁=1，a_n=f（

1

an-1

）（x∈N^*，且n≥2）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设T_n=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^n-1a_na_n+1，若T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围；
（3）是否存在以a₁为首项，公比为q（0＜q＜5，q∈N^*）的等比数列{a nk}，k∈N^*，使得数列{a nk}中每一项都是数列{a_n}中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{n_k}的通项公式；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：数列与函数的综合

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（1）由a_n=f（

1

an-1

），f（x）=

2x+1

x

（x∈N^*，且n≥2），知a_n-a_n-1=2．再由a₁=1，能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）当n=2m，m∈N^*时，T_n=-2n（n+1）；当n=2m-1，m∈N^*时，T_n=2n²+6n+3，由此入手能求出实数t的取值范围．
（3）由a_n=2n-1，知数列{a_n}中每一项都是奇数．当q=1时，显然不存在这样的数列{a_nk}．当q=3时，an1=1，n₁=1，所以ank=3^k-1=2n_k-1，可得满足条件的数列{n_k}的通项公式．

解答： 解：（1）因为a_n=f（

1

an-1

），f（x）=

2x+1

x

（x∈N^*，且n≥2），
所以a_n-a_n-1=2．
因为a₁=1，
所以数列{a_n}是以1为首项，公差为2的等差数列．
所以a_n=2n-1；
（2）①当n=2m，m∈N^*时，T_n=T_2m=a₁a₂-a₂a₃+a₃a₄-a₄a₅+…+（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=a₂（a₁-a₃）+a₄（a₃-a₅）+…+a_2m（a_2m-1-a_2m+1）=-4（a₂+a₄+…+a_2m）=-4（2m+1）m=-2n（n+1）；
②当n=2m-1，m∈N^*时，T_n=T_2m-1=T_2m-（-1）^2m-1a_2ma_2m+1=2n²+6n+3
要使T_n≥tn²对n∈N^*恒成立，
只要使-2n（n+1）≥tn²，（n为偶数）恒成立．
只要使-2（1+

1

n

）≥t，对n为偶数恒成立，
故实数t的取值范围为（-∞，3]；
（3）由a_n=2n-1，知数列{a_n}中每一项都是奇数．
当q=1时，显然不存在这样的数列{a_nk}．
当q=3时，若存在以a₁为首项，公比为3的数列{a_nk}，k∈N^*．
则an1=1，n₁=1，所以ank=3^k-1=2n_k-1，
所以n_k=

3k-1+1

2

．
所以满足条件的数列{n_k}的通项公式为n_k=

3k-1+1

2

．

点评：本题考查数列与函数的综合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，有难度．