Question

已知函数f（x）=2sin²（

π

4

+ωx）-

3

cos2ωx-1（ω＞0）的最小正周期为

2π

3

（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）当x∈[

π

6

，

π

2

]时，求f（x）的值域．
（Ⅲ）不画图，说明函数y=f（x）的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变化得到．

Answer 1

考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据三角恒等变换化简函数的解析式为f（x）=2sin（2ωx-

π

3

）-1，根据函数的最小正周期为

2π

3

，求得ω的值．
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=2sin（3x-

π

3

），由x∈[

π

6

，

π

2

]时，根据正弦函数的定义域和值域求得f（x）的值域．
（Ⅲ）根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin²（

π

4

+ωx）-

3

cos2ωx-1=1-cos（

π

2

+2ωx）-

3

cos2ωx-1
=sin2ωx-

3

cos2ωx=2sin（2ωx-

π

3

） （ω＞0），
根据函数的最小正周期为

2π

3

，可得

2π

2ω

=

2π

3

，求得ω=

3

2

．
（Ⅱ）由以上可得，f（x）=2sin（3x-

π

3

），当x∈[

π

6

，

π

2

]时，3x-

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，
∴sin（3x-

π

3

）∈[-

1

2

，1]，故f（x）的值域为[-1，2]．
（Ⅲ）把y=sinx的图象向右平移

π

3

个单位，可得函数y=sin（x-

π

3

）的图象；
再把所得图象上个点的横坐标变为原来的

1

3

倍，纵坐标不变，可得函数y=sin（3x-

π

3

）的图象；
再把所得图象上个点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变，可得函数y=2sin（3x-

π

3

）的图象．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦函数的定义域和值域，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．