【题目】已知函数.
(1)讨论在
上的单调性;
(2)若,求不等式
的解集.
【答案】(1)当时,
,则
在
上单调递增; 当
时,
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;当
时
的单调递减区间为
,单调递增区间为
,
;当
时
的单调递减区间为
,单调递增区间为
;(2)
.
【解析】
(1),分
和
讨论得出函数
的单调性.
(2) 原不等式等价于,又
,
,当
时,
,所以
在
上单调递增,从而可得出答案.
(1).
当时,
,则
在
上单调递增.
当时,令
,得
.
(i)当时,
,
令,得
;令
,得
.
所以的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(ii)当时,
,
令,得
;
令,得
或
.
所以的单调递减区间为
,单调递增区间为
,
.
(iii)当时,
,
令,得
;令
,得
.
所以的单调递减区间为
,单调递增区间为
.
(2)因为,所以
,当
时,
,所以
在
上单调递增.
因为,
所以原不等式等价于.
因为,
,
所以,
解得,故所求不等式的解集为
.
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【题目】向50名学生调查对A、B两事件的态度,有如下结果:赞成A的人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成B的比赞成A的多3人,其余的不赞成;另外,对A、B都不赞成的学生数比对A、B都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A、B都赞成的学生有____________人
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【题目】如图,椭圆的右顶点为
,左、右焦点分别为
、
,过点
且斜率为
的直线与
轴交于点
,与椭圆
交于另一个点
,且点
在
轴上的射影恰好为点
.
(1)求点的坐标;
(2)过点且斜率大于
的直线与椭圆交于
两点
,若
,求实数
的取值范围.
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【题目】我国古代有着辉煌的数学研究成果,《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》等10部专著是了解我国古代数学的重要文献.这10部专著中有5部产生于魏晋南北朝时期.某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”课外阅读教材则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期的专著的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知椭圆:
过点
,过坐标原点
作两条互相垂直的射线与椭圆
分别交于
,
两点.
(1)证明:当取得最小值时,椭圆
的离心率为
.
(2)若椭圆的焦距为2,是否存在定圆与直线
总相切?若存在,求定圆的方程;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,)的最小正周期为π,且关于
中心对称,则下列结论正确的是( )
A.f(1)<f(0)<f(2)B.f(0)<f(2)<f(1)
C.f(2)<f(0)<f(1)D.f(2)<f(1)<f(0)
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【题目】若数列满足
,数列
为
数列,记
.
(1)写出一个满足,且
的
数列
;
(2)若,
,证明:
数列
是递增数列的充要条件是
;
(3)对任意给定的整数,是否存在首项为0的
数列
,使得
?如果存在,写出一个满足条件的
数列
;如果不存在,说明理由.
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【题目】“割圆术”是我国古代计算圆周率的一种方法.在公元
年左右,由魏晋时期的数学家刘徽发明.其原理就是利用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积,进而求
.当时刘微就是利用这种方法,把
的近似值计算到
和
之间,这是当时世界上对圆周率
的计算最精确的数据.这种方法的可贵之处就是利用已知的、可求的来逼近未知的、要求的,用有限的来逼近无穷的.为此,刘微把它概括为“割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆合体,而无所失矣”.这种方法极其重要,对后世产生了巨大影响,在欧洲,这种方法后来就演变为现在的微积分.根据“割圆术”,若用正二十四边形来估算圆周率
,则
的近似值是( )(精确到
)(参考数据
)
A.B.
C.D.
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