Question

11．过抛物线y²=2px（p＞0）的焦点F作直线交抛物线于A，B，若S_△OAF=3S_△OBF，则直线AB的斜率为（　　）

• A． $±\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
• B． $±\frac{4}{3}$
• C． $±\sqrt{3}$
• D． $±\frac{3}{4}$

Answer 1

分析 据S_△AOF=3S_△BOF，得|AF|=3|BF|，得$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，求得-y₁=3y₂，设出直线AB的方程，与抛物线方程联立消去x，利用韦达定理求出斜率，即可求出tanα．

解答 解：根据题意设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由S_△AOF=3S_△BOF，得|AF|=3|BF|，得$\overrightarrow{AF}$=3$\overrightarrow{BF}$，得（$\frac{p}{2}$-x₁，-y₁）=3（$\frac{p}{2}$-x₂，-y₂），
故-y₁=3y₂，即$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$=-3．
设直线AB的方程为y=k（x-$\frac{p}{2}$）．联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{y=2px}\end{array}\right.$，消元得ky²-2py-kp²=0．
故y₁+y₂=$\frac{2p}{k}$，y₁y₂=-p²．则$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$+2=-$\frac{4}{3}$，-$\frac{4}{{k}^{2}}$=-$\frac{4}{3}$，解得k=$\sqrt{3}$，
即直线AB的斜率为±$\sqrt{3}$，
故选：C

点评 本题主要考查了抛物线的概念和性质，直线和抛物线的综合问题，考查学生的计算能力，属于中档题．