Question

在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且三角形的面积为S=

3

2

accosB．
（1）求角B的大小
（2）若

c

a

+

a

c

=4，求

1

tanA

+

1

tanC

的值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：解三角形

分析：（1）在三角形ABC中，由条件可得S=

1

2

acsinB=

3

2

accosB，求得tanB的值，可得B的值．
（2）由

c

a

+

a

c

=4以及B=

π

3

，可得b²=ac，由正弦定理可得 sin²B=3sinAsinC，求出sinAsinC的值．再利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式把要求的式子化为

3

2sinAsinC

，从而求得结果．

解答： 解：（1）在三角形ABC中，∵S=

1

2

acsinB，由已知S=

3

2

accosB，可得

1

2

acsinB=

3

2

accosB，∴tanB=

3

，
再由0＜B＜π，∴B=

π

3

．
（2）∵

c

a

+

a

c

=

a2+c2

ac

=

b2+2accosB

ac

=4，又∵B=

π

3

∴b2=3ac，由正弦定理可得 sin²B=3sinAsinC．
∵B=

π

3

∴sinAsinC=

1

4

，∴

1

tanA

+

1

tanC

=

cosA

sinA

+

cosC

sinC

=

sinCcosA+cosCsinA

sinAsinC

=

sin(A+C)

sinAsinC

=

sinB

sinAsinC

=

3

2sinAsinC

=2

3

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式，属于基础题．