Question

如图，抛物线y=-x²+9与x轴交于两点A，B，点C，D在抛物线上（点C在第一象限），CD∥AB．记|CD|=2x，梯形ABCD面积为S．
（1）求面积S以x为自变量的函数式；
（2）若

|CD|

|AB|

=k其中k为常数，且0＜k＜1，求S的最大值．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数解析式的求解及常用方法

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用,导数的综合应用

分析：（1）首先根据二次函数的图象确定C的坐标，和线段AB的长，然后根据梯形面积关系式确定有条件下的解析式．
（2）由（1）的解析式，符合高次函数的形式，然后利用导数来求函数的最值，中间涉及相关的分类讨论和运算等知识．

解答： 解：（1）依题意，点C的横坐标为x，点C的纵坐标为y_C=-x²+9，
点B的横坐标x_B满足方程--xB2+9=0⇒xB=3，-3(舍去)；
所以S 

1

2

(|CD|+|AB|)•yc=（2x+2×3）（-x²+9）=（x+3）（-x²+9）
由点C在第一象限，得0＜x＜3．
所以S关于x的函数式为 S=（x+3）（-x²+9）（0＜x＜3）
（2）由 0＜x＜3.

x

3

≤k及0＜k＜1⇒0＜x＜3k，
记f（x）=（x+3）（-x²+9），0＜x≤3k，
则f'（x）=-3x²-6x+9=-3（x-1）（x+3），
令f'（x）=0，得x=1．      
①若1＜3k，即

1

3

＜k＜1f'（x）与f（x）的变化情况如下：

x	（0，1）	1	（1，3k）
f'（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

所以，当x=1时，f（x）取得最大值，且最大值为f（1）=32，
②若1≥3k，即0＜k≤

1

3

f'（x）＞0恒成立，
所以，f（x）的最大值为f（3k）=27（1+k）（1-k²），
综上所述

1

3

＜k＜1时，S的最大值为32；

1

3

0＜k≤

1

3

；S的最大值为f（3k）=27（1+k）（1-k²）．
故答案为：（1）S关于x的函数式为 S=（x+3）（-x²+9）（0＜x＜3），
（2）当

1

3

＜k＜1时，S的最大值为32，
当

1

3

0＜k≤

1

3

，S的最大值为f（3k）=27（1+k）（1-k²）

点评：本题考查的知识点：二次函数的图象及相关的性质，函数的解析式，利用导数求函数的最值及相关的运算问题和分类讨论问题．