Question

如图，在三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，△ABC为正三角形，D，E，F分别是BC，PB，CA的中点．
（1）证明：PC∥平面DEF；
（2）证明：平面PBF⊥平面PAC；
（3）若PC=AB=2，求三棱锥P-DEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由D，E，分别是BC，PB的中点，得DE∥PC，由此能证明PC∥平面DEF．
（2）先根据PC⊥平面ABC，BF?平面ABC得到PC⊥BF；再结合BF⊥AC即可得到BF⊥平面PAC，进而证明平面PBF⊥平面PAC．
（3）直接根据D，E，F分别为BC，PB，CA的中点，把所求体积进行转化；转化为

1

2

V_P-BDF即可求出结论．

解答： （1）证明：在△PBC中，∵D，E，分别是BC，PB的中点，
∴DE∥PC，
∵PC不包含于平面DEF，DE?平面DEF，
∴PC∥平面DEF．
（2）证明：∵PC⊥平面ABC，BF?平面ABC．
∴PC⊥BF．由条件得BF⊥AC，PC∩AC=C．
∴BF⊥平面PAC，BF?平面PBF，
∴平面PBF⊥平面PAC．
（3）解：∵D，E，F分别为BC，PB，CA的中点．
∴V_P-DEF=V_C-DEF=V_E-DFC=V_E-BDF
=

1

2

V_P-BDF
=

1

2

×

1

3

×S_△BDF•PC
=

1

2

×

1

3

×

1

4

S_△ABC•PC
=

1

2

×

1

3

×

1

4

×

1

2

×2×2×

3

2

×2
=

3

12

．

点评：本题主要考查平面与平面垂直的判定以及棱锥体积的求法．棱锥体积的求法常用转化思想，变为易求的几何体的体积，考查计算能力．