Question

已知数列A：a₁，a₂，a₃，…，a_n（0≤a₁＜a₂＜a₃＜…＜a_n，n≥3，n∈N^*）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n，i，j∈N^*），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是数列A中的项，现下列命题正确的是：

 

．（写出所有正确答案的序号）
①数列A：0，1，3与数列B：0，2，4，6都具有性质P；
②a₁=0；
③2（a₁+a₂+a₃+…+a_n）=na_n；
④当n=5时，a₁，a₂，a₃，a₄，a₅成等差数列．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据数列：a₁，a₂，…a_n（0≤a₁＜a₂…＜a_n），n≥3时具有性质P，对任意i，j（1≤i＜j≤n），a_j+a_i与a_j-a_i两数中至少有一个是该数列中的一项，逐一验证即可．

解答： 解：对于①因为1+3=4，3-1=2，都不是数列A中的项，故命题①错误；
对于②，考查该数列中的最大项a_n，显然a_n+a_n=2a_n不是数列中的项，则必有a_n-a_n=0属于该数列，故0∈A，且a₁=0，故②正确；
对于③若数列A具有该性质P，设a_n是最大项，则具有性质ai+an(1＜i≤n，i∈N*)，不在A中，则a_n-a_i是数列A中的项，则依题意：a_n-a_n＜a_n-a_n-1＜a_n-a_n-2＜…＜a_n-a₂＜a_n-a₁，则由给的数列A的性质可知；a_n-a_n=a₁，a_n-a_n-1=a₂，a_n-a_n-2=a₃，…a_n-a₂=a_n-1，a_n-a₁=a_n，将前面n个式子相加得：na_n-（a₁+a₂+a₃+…a_n-1+a_n）=a₁+a₂+a₃+…+a_n-1+a_n，故na_n=2（a₁+a₂+a₃+…a_n-1+a_n），故③正确；
对于④，当n=5时，因为a₁=0，a₂-a₁=a₂，且

a5-a4=a2 a5-a3=a3 a5-a2=a4

⇒

a5=a4+a2 a5=2a3

⇒2a₃=a₄+a₂⇒2a₃=a₄+a₂，而a₄+a₃＞2a₃=a₅不是数列A中的项，则a₄-a₃是数列A中的项，
所以a₁＜a₄-a₃＜a₅-a₃=a₃，所以a₄-a₃=a₂，所以a₂-a₁=a₃-a₂=a₄-a₅=a₅-a₄，故④成立．
故答案为：②③④

点评：本题属于创新题，要准确理解A的性质，抓住特殊项，结合性质去推理，才能较好地解决此题．