Question

【题目】已知，如图，抛物线的方程为，直线的方程为，直线交抛物线于， 两点，点为线段中点，直线， 分别与抛物线切于点， ．

（）求：线段的长．

（）直线平行于抛物线的对称轴．

（）作直线直线，分别交抛物线和两条已知切线， 于点， ， ， ．

求证： ．

Answer 1

【答案】（） （）见解析（3）见解析

【解析】试题分析：（1）将直线与抛物线联立消去，设， ，通过韦达定理求出， 的值，代入弦长公式得答案；（2）由（1）可求出，再求出直线与的切线方程，联系方程组，求出点的坐标，比较与的横坐标即可；（3）由直线∥直线l，可设直线方程为，与直线交于一点，由为中点，可得为中点，将直线与抛物线联立消去，设， ，通过韦达定理求出的值，再根据即可求得.

试题解析：（）直线与抛物线相交于， 两点，

，整理得，

∴，

，

∴， ，

∴

．

（）∵，

设过点的切线方程为，

切点，

∴，有且仅有一根，

整理得

直线的方程为，

同理直线的方程为，

两者联立，解出交点的纵坐标、横坐标，

，

，

∴点与点的横坐标相同，

即直线平行于轴，

即直线平行于抛物线的对称轴．

（3）由题意可设直线方程为，且与直线交于一点

，整理可得

∴

∴

∵直线∥直线l，且为中点

∴为中点，即

∴，

∴，

∵，

∴

∴