Question

讨论函数y=x+

a

x

的定义域，值域，单调性．

Answer 1

考点：函数的单调性及单调区间,函数的定义域及其求法,函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的解析式可求得其定义域，先判断函数的奇偶性，分a=0、a＞0和a＜0讨论函数的值域和单调性．

解答： 解：要使函数函数y=x+

a

x

有意义，只要x≠0，
所以函数y=x+

a

x

的定义域是{x|x≠0}；
∵f（-x）=-x-a/x=-（x+

a

x

）=f（x）
∴函数y=f（x）=x+

a

x

是奇函数
（1）a=0时，y=x，故函数的值域是{y|y≠0}，是单调增函数；   
（2）当a＜0时，
∵y=x+

a

x

⇒xy=x²+a
⇒x²-xy+a=0
      又a＜0
∴对任意y，恒有△=y²-4a＞0
    故函数y的值域是（-∞，+∞）
∵y′=

x2-a

x2

＞0
∴原函数在区间（-∞，0）∪（0，+∞）上单调递增
（3）当a＞0时，同理可得x²-xy+a=0
∵此方程有实数解，且a＞0
∴△=y²-4a≥0⇒（y+2

a

）（y-2

a

）≥0
⇒y≤-2

a

，或y≥2

a

    故原函数的值域是（-∞，-2

a

][2

a

，+∞）
∵令y′=

x2-a

x2

＞0
∴x=

a

，或x=

a

∵当x∈（-∞，-

a

）∪（

a

，+∞）时，y′=

x2-a

x2

＞0
      当x∈（-

a

，0）∪（0，

a

）时，y′=

x2-a

x2

＜0
∴原函数在区间（-∞，-

a

）和（

a

，+∞）上单调递增
      原函数在区间（-

a

，0）和（0，

a

）上单调递减．

点评：本题主要考查函数的定义域、值域的求法、函数单调性的判断，属于中档题．