Question

3．下列函数中最小值为2的是（　　）

• A． y=log₂x+log_x2（0＜x＜1）
• B． y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$
• C． y=e^x+e^-x
• D． y=x+$\frac{1}{x}$

Answer 1

分析 A．由0＜x＜1，可得：y=log₂x+log_x2＜0，即可判断出正误．
B．y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2，即可判断出正误．
C．y=${e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$$≥2\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$=2，即可判断出正误．
D．x＜0时，y＜0，最小值不可能是2．

解答 解：A．∵0＜x＜1，∴y=log₂x+log_x2＜0，因此最小值不可能是2．
B．y=$\frac{{x}^{2}+3}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+2}$+$\frac{1}{\sqrt{{x}^{2}+2}}$＞2，因此最小值不可能是2．
C．y=${e}^{x}+\frac{1}{{e}^{x}}$$≥2\sqrt{{e}^{x}•\frac{1}{{e}^{x}}}$=2，当且仅当x=0时取等号，因此y的最小值为2，正确．
D．x＜0时，y＜0，最小值不可能是2．
综上可得：函数最小值为2的是C．
故选：C．

点评 本题考查了基本不等式的性质、函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．