Question

11．数列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，若对任意正整数n，有a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，且a_n+1a_n+2≠1，则该数列的前2016项和S₂₀₁₆=（　　）

• A． 2016
• B． 4032
• C． 4026
• D． 2013

Answer 1

分析 分别表示出a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，两式相减可推断出a_n+3=a_n，进而可知数列{a_n}是以3为周期的数列，根据数列的周期性进行求解即可．

解答 解：依题意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，
两式相减得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，
∴数列{a_n}是以3为周期的数列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3
∴S₂₀₁₆=672×（a₁+a₂+a₃）=672×（1+2+3）=672×6=4032，
故选：B．

点评 本题主要考查了数列的递推式和数列的求和问题．本题的关键是找出数列的周期性．考查学生的推理能力．