Question

6．若关于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0有两个相等的实根，且a，b，c为△ABC的三边长，且1+$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{a}$，求cosA+cosB+cosC的值．

Answer 1

分析 关于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0即（c-a）x²+2bx+（a+c）=0有两个相等的实根，利用△=0，化为b²+a²=c²．可得C=$\frac{π}{2}$．利用勾股定理及其1+$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{a}$，可得5b²=4bc，即$\frac{b}{c}$=$\frac{4}{5}$，可得cosA，cosB，即可得出．

解答 解：∵关于x的方程a（1-x²）+2bx+c（1+x²）=0即（c-a）x²+2bx+（a+c）=0有两个相等的实根，
∴△=4b²-4（c-a）（c+a）=0，
化为b²+a²=c²．
∴C=$\frac{π}{2}$．
∵1+$\frac{c}{a}$=$\frac{2b}{a}$，
∴a+c=2b，
∴a=2b-c，
∴a²=（2b-c）²=c²-b²，
化为5b²=4bc，
∴$\frac{b}{c}$=$\frac{4}{5}$=cosA，
∴$\frac{a}{c}$=$\frac{3}{5}$=cosB，
∴cosA+cosB+cosC=$\frac{4}{5}+\frac{3}{5}$+0=$\frac{7}{5}$．

点评 本题考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系、直角三角形的边角关系、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．