Question

11．以爱心曲线A：x²-|x|y+y²=c²（c＞0）在x轴的交点F₁、F₂为椭圆B的焦点，且椭圆B经过A上到原点O的最大距离对应的点M，则椭圆B的离心率为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 通过基本不等式可知当x=y时x²+y²=c²+$\frac{1}{2}$（x²+y²），从而可知M（x，y），将其代入椭圆方程并化简可知a⁴-3a²c²+c⁴=0，进而计算可得结论．

解答 解：依题意，显然点M的横、纵坐标同号，不妨取正数，
则x²+y²=c²+xy≤c²+$\frac{1}{2}$（x²+y²），
∴当x=y时，x²+y²=c²+$\frac{1}{2}$（x²+y²），
∴x=y=c，即M（x，y），
在爱心曲线A中令y=0可知x=±c，
∴F₁（-c，0）、F₂（c，0），
设椭圆B方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0，且a²-b²=c²），
则$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，
整理得：a⁴-3a²c²+c⁴=0，
∴1-3e²+e⁴=0，
解得：e²=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，注意解题方法的积累，属于中档题．