Question

在△ABC中，已知BC=2，=1，则△ABC面积的最大值是________．

Answer 1

分析：根据=1，及向量的数量积的定义式得到cosA=1，两边平方得到1=AB²AC²cos²A，根据三角形的面积公式S=|AB||AC|sinA，两边平方，两式相加，得到1+4S²=AB²AC²，根据余弦定理和基本不等式即可求得三角形面积的最大值．
解答：∵=1，∴cosA=1
∴1=AB²AC²cos²A（1）
又∵S=|AB||AC|sinA
∴4S²=AB²AC²sin²A（2）
（1）+（2）得：1+4S²=AB²AC²（cos²A+sin²A）
即1+4S²=AB²AC²
由题知：=-，
∴BC²=AC²-2+AB²=AC²+AB²-2
∵BC=2，
∴AC²+AB²=6
由不等式：AC²+AB²≥2AC•AB 当且仅当，AC=AB时，取等号
∴6≥2AC•AB
即AC•AB≤3
∴1+4S²=AB²AC²《9
∴4S²≤8，即：S²≤2
∴S≤，所以△ABC面积的最大值是：．
故答案为．
点评：此题是个中档题．考查向量在几何中的应用和向量的数量积的定义式，以及余弦定理、三角形的面积公式和基本不等式求最值等基础知识和基本方法，综合性强，考查了学生灵活应用知识分析、解决问题的能力．