Question

【题目】已知圆：()，定点，，其中为正实数.

（1）当时，判断直线与圆的位置关系；

（2）当时，若对于圆上任意一点均有成立(为坐标原点)，求实数的值；

（3）当时，对于线段上的任意一点，若在圆上都存在不同的两点，使得点是线段的中点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) 相离. (2) ，．(3)

【解析】

（1）利用圆心到直线的距离和半径的关系即可得到判断；（2）利用两点间的距离公式进行化简整理，由点P的任意性即可得实数m，λ的值；（3）设出点P和点N的坐标，表示出中点M的坐标，M、N满足圆C的方程，根据方程组有解说明两圆有公共点，利用两圆位置关系要求及点P满足直线AB的方程，解出半径的取值范围.

解: (1) 当时,圆心为,半径为,

当时,直线方程为,

所以,圆心到直线距离为,

因为,所以,直线与圆相离.

（2）设点，则，，

∵，∴，

，…………

由得，， ∴，

代入得， ，

化简得，…………

因为为圆上任意一点，所以，………

又，解得，．…………………

(3)法一:直线的方程为，设()，，

因为点是线段的中点，所以，

又都在圆：上，所以

即……………………

因为该关于的方程组有解，即以为圆心，为半径的圆与以为圆心，为半径的圆有公共点，

所以，，

又为线段上的任意一点，所以对所有成立．

而 在上的值域为，

所以所以．………

又线段与圆无公共点，所以，∴.

故实数的取值范围为． ……………

法二:过圆心作直线的垂线，垂足为，设，，则则消去得， ，

直线方程为 点到直线的距离为

且又 为线段上的任意一点， …

，，

故实数的取值范围为．