【题目】已知函数,其中
.
(Ⅰ)当时,求曲线
在点
处的切线方程;
(Ⅱ)若函数有唯一零点,求
的值.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)时,求出导函数,求出
,将
代入到
中得到曲线
在点
处的切线的斜率,求出
,然后利用点斜式求出曲线
在点
处的切线方程.
(Ⅱ)先利用导数证明函数在R上有唯一零点
,且函数
在
上递,在
上递增,所以函数
在
处取得最小值
,再根据函数
有唯一零点可得
,然后根据
以及
联立消去
,得到
,然后构造函数
,通过导数的方法可得
有唯一零点
,且
,最后将
代入到
可以解得
的值.
(Ⅰ)当时,
.
.
.
又,
曲线
在点
处的切线方程为
,即
.
(Ⅱ).
令,则
.
,
函数
在
仅有一个零点.
存在
,使得
.
即存在满足
时,
.
当
,即
时,
.
在
上单调递减;
当,即
时,
.
在
上单调递增.
又当时,
,
,
;
当时,
,
.
当
时,
,
当
时,
.
由题意,函数
有唯一零点时,必有
.①
又,②
由①②消去,得
.
令.
,
单调递增.
又,
方程
有唯一解
.
将代入
,解得
.
当函数
有唯一零点时,
的值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在新冠肺炎疫情的影响下,南充高中响应“停课不停教,停课不停学”的号召进行线上教学,高二年级的甲乙两个班中,需根据某次数学测试成绩选出某班的5名学生参加数学竞赛决赛,已知这次测试他们取得的成绩的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83,乙班5名学生成绩的中位数是86.
(1)求出x,y的值,且分别求甲乙两个班中5名学生成绩的方差,并根据结
果,你认为应该选派哪一个班的学生参加决赛?
(2)从成绩在85分及以上的学生中随机抽取2名.求至少有1名来自甲班的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的前
项和为
,且
,
.
(1)若数列是等差数列,且
,求实数
的值;
(2)若数列满足
(
),且
,求证:
是等差数列;
(3)设数列是等比数列,试探究当正实数
满足什么条件时,数列
具有如下性质
:对于任意的
(
),都存在
,使得
,写出你的探究过程,并求出满足条件的正实数
的集合.
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【题目】某企业为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况,随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量(单位:毫克),质量值落在
的产品为合格品,否则为不合格品.如表是甲流水线样本频数分布表,如图是乙流水线样本的频率分布直方图.
产品质量/毫克 | 频数 |
(Ⅰ)以样本的频率作为概率,试估计从甲流水线上任取件产品,求其中不合格品的件数
的数学期望.
甲流水线 | 乙流水线 | 总计 | |
合格品 | |||
不合格品 | |||
总计 |
(Ⅱ)由以上统计数据完成下面列联表,能否在犯错误的概率不超过
的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关?
(Ⅲ)由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量服从正态分布
,求质量
落在
上的概率.
参考公式:
参考数据:
参考公式:
,其中
.
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【题目】已知圆:
(
),定点
,
,其中
为正实数.
(1)当时,判断直线
与圆
的位置关系;
(2)当时,若对于圆
上任意一点
均有
成立(
为坐标原点),求实数
的值;
(3)当时,对于线段
上的任意一点
,若在圆
上都存在不同的两点
,使得点
是线段
的中点,求实数
的取值范围.
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【题目】已知三棱锥(如图1)的平面展开图(如图2)中,四边形
为边长为
的正方形,△ABE和△BCF均为正三角形,在三棱锥
中:
(I)证明:平面
平面
;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)若点在棱
上,满足
,
,点
在棱
上,且
,求
的取值范围.
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【题目】已知复数z满足|z|,z的实部大于0,z2的虚部为2.
(1)求复数z;
(2)设复数z,z2,z﹣z2之在复平面上对应的点分别为A,B,C,求()
的值.
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