Question

【题目】已知数列的前项和为，且，.

（1）若数列是等差数列，且，求实数的值；

（2）若数列满足（），且，求证：是等差数列；

（3）设数列是等比数列，试探究当正实数满足什么条件时，数列具有如下性质：对于任意的（），都存在，使得，写出你的探究过程，并求出满足条件的正实数的集合.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析；（3）.

【解析】

（1）根据等差数列由，解得， 则得a．

（2）由，解得， 由，且，，求得为奇数时与为偶数时的，利用等差数列的定义证得是等差数列.

（3）由题意， 根据对任意，都有，分别讨论当时和当时，通过找反例得到数列不具有性质

又当时，通过，且，得到，证得数列具有性质．

（1）设等差数列的公差为．由，得，

解得． 则得 ，所以a=3．

（2）由，得 ，

解得， 由，且，，得

当为奇数时，；

当为偶数时，．

所以对任意，都有，当时，，

所以数列是以为首项、为公差的等差数列．

（3）由题意，

①当时，，

所以对任意，都有，

因此数列不具有性质．

②当时，，，

所以对任意，都有，

因此数列不具有性质．

③当1<a<2时，

,

，

取(表示不小于的最小整数)，则，.

所以对于任意，，

即对于任意，都不在区间内，

所以数列不具有性质．

④当时，，且，

即对任意的，都有，

所以当时，数列具有性质．

综上,使得数列具有性质的正实数的集合为．

③④的另解：

当时，单调递增，单调递增，且时，．

若对任意，都存在，使得，即存在在区间内．

观察，，…，

发现在内的只能是．

证明：在个区间，，…，内需要个，

因为，，所以可选择的只能是，共个．

由，得．

所以只需满足恒成立，即，

得对任意都成立．

因为数列单调递增，且，所以．

综上,使得数列具有性质的正实数的集合为．