【题目】已知抛物线:
的焦点为
,点
为
上异于顶点的任意一点,过
的直线
交
于另一点
,交
轴正半轴于点
,且有
,当点
的横坐标为3时,
为正三角形.
(1)求的方程;
(2)若直线,且
和
相切于点
,试问直线
是否过定点,若过定点,求出定点坐标;若不过定点,说明理由.
【答案】(1) (2) 直线
过定点
.
【解析】
(1)设,抛物线的焦点为
,由
,可得
,从而
,再由
点横坐标与
中点横坐标相同可求得
.
(2)设,可得
,由
,可设直线
的方程为
,由它与抛物线相切可求得
,也即得出
点坐标,求出直线
方程,观察得其过定点.注意分类,即按直线
斜率是否存在分类讨论.
(1)抛物线的焦点,设
,则
的中点坐标为
,
∵,∴
,解得
,或
(舍),
∵,∴
,解得
,
∴抛物线方程为.
(2)由(1)知,,设
,
,
∵,则
,由
得
,即
,
∴直线的斜率
,∵
,故设直线
的方程为
,
联立方程组,得
,
∵直线与抛物线相切,∴
,
,
设,则
,
,
当时,
,直线
的方程为
,
∵,∴直线
的方程为
,∴直线
过定点
,
当时,直线
方程为
,经过定点
,
综上,直线过定点
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】设曲线(a为正常数)与
在x轴上方仅有一个公共点P.
(1)求实数m的取值范围(用a表示);
(2)O为原点,若与x轴的负半轴交于点A,当
时,试求△OAP的面积的最大值(用a表示).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某研究公司为了调查公众对某事件的关注程度,在某年的连续6个月内,月份和关注人数
(单位:百)(
)数据做了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.
17.5 | 35 | 36.5 |
(1)由散点图看出,可用线性回归模型拟合y与x的关系,请用相关系数加以说明,并建立y关于x的回归方程;
(2)经统计,调查材料费用v(单位:百元)与调查人数满足函数关系,求材料费用的最小值,并预测此时的调查人数;
(3)现从这6个月中,随机抽取3个月份,求关注人数不低于1600人的月份个数分布列与数学期望.
参考公式:相关系数,若
,则y与x的线性相关程度相当高,可用线性回归模型拟合y与x的关系.回归方程
中斜率与截距的最小二乘估计公式分别为
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与地面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑,首届中国国际进口博览会的某展馆棚顶一角的钢结构可以抽象为空间图形阳马,如图所示,在阳马中,
底面
.
(1)已知,斜梁
与底面
所成角为
,求立柱
的长;(精确到
)
(2)求证:四面体为鳖臑.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知△的三个内角
、
、
所对应的边分别为
、
、
,复数
,
,(其中
是虚数单位),且
.
(1)求证:,并求边长
的值;
(2)判断△的形状,并求当
时,角
的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的前
项和为
,且
,
.
(1)若数列是等差数列,且
,求实数
的值;
(2)若数列满足
(
),且
,求证:
是等差数列;
(3)设数列是等比数列,试探究当正实数
满足什么条件时,数列
具有如下性质
:对于任意的
(
),都存在
,使得
,写出你的探究过程,并求出满足条件的正实数
的集合.
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【题目】已知函数,
,在
处的切线方程为
.
(1)求,
;
(2)若,证明:
.
【答案】(1),
;(2)见解析
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,得到关于 的方程组,解出即可;
(2)由(1)可知,
,
由,可得
,令
, 利用导数研究其单调性可得
,
从而证明.
试题解析:((1)由题意,所以
,
又,所以
,
若,则
,与
矛盾,故
,
.
(2)由(1)可知,
,
由,可得
,
令,
,
令
当时,
,
单调递减,且
;
当时,
,
单调递增;且
,
所以在
上当单调递减,在
上单调递增,且
,
故,
故.
【点睛】本题考查利用函数的切线求参数的方法,以及利用导数证明不等式的方法,解题时要认真审题,注意导数性质的合理运用.
【题型】解答题
【结束】
22
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
,
为参数),以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,若直线
与曲线
相切;
(1)求曲线的极坐标方程;
(2)在曲线上取两点
,
与原点
构成
,且满足
,求面积
的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某单位计划在一水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水库年入流量(年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,假设各年的年入流量相互独立.
(1)求未来3年中,设表示流量超过120的年数,求
的分布列及期望;
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量限制,并有如下关系:
年入流量 | |||
发电机最多可运行台数 | 1 | 2 | 3 |
若某台发电机运行,则该台年利润为5000万元,若某台发电机未运行,则该台年亏损800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?
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