Question

已知D是△ABC的边AB的中点，且AB=4，BC+CD=4，则△BCD面积的最大值为

 

．

Answer 1

考点：三角形的面积公式

专题：解三角形

分析：设BC=x，则CD=4-x，记∠BDC=α，由余弦定理可得cosα=

5-2x

4-x

，进而可得sinα=

-3x2+12x-9

4-x

，代入面积公式可得S=2

-3x2+12x-9

，由二次函数的最值可得．

解答： 解：由题意可得AD=BD=2，设BC=x，则CD=4-x，记∠BDC=α
在△BCD中，由余弦定理可得x²=4+（4-x）²-4（4-x）cosα，
变形可得cosα=

5-2x

4-x

，∴sinα=

1-cos2α

=

-3x2+12x-9

4-x

，
∴△BCD面积S=2×

1

2

×2×（4-x）sinα=2

-3x2+12x-9

，
由二次函数的性质可知当x=-

12

2×(-3)

=2时，上式取到最大值2

3

故答案为：2

3

点评：本题考查三角形的面积公式，涉及余弦定理和二次函数的最值，属中档题．