Question

已知函数f（x）=（2x²+m）e^x（m∈R，e为自然对数的底数）．
（1）若m=-6，求f（x）的单调区间和极值；
（2）设m∈Z，函数g（x）=f（x）-（2x²+x）e^x-1-m，若关于x的不等式g（x）＜0在x∈（0，+∞）上恒成立，求m的最大值．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）把m=-6代入函数的表达式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；
（2）先求出g（x）的表达式，将问题转化为求g（x）在（0，+∞）递减，解关于g′（x）的不等式，从而求出m的最大值．

解答： 解：（1）m=-6时，f（x）=（2x²-6）e^x，
f′（x）=2e^x（x+3）（x-1），
令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜-3，
令f′（x）＜0，解得：-3＜x＜1，
∴f（x）在（-∞，-3）递增，在（-3，1）递减，在（1，+∞）递增，
∴f（x）_极大值=f（-3）=

12

e3

，f（x）_极小值=f（1）=-4e；
（2）∵g（x）=（2x²+m）e^x-（2x²+x）e^x-1-m
=（m-x）e^x-1-m，
而g（0）=0，若要g（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
只需g（x）在（0，+∞）递减即可，
∵g′（x）=e^x（m-x-1），令g′（x）＜0，解得：m＜x+1，
∴m≤1，m∈Z，
∴m的最大值是1．

点评：本题考查了函数的单调性，函数的极值问题，考查了参数的范围，考查了转化思想，是一道中档题．