Question

如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB，EF⊥FB，CF⊥FB，BF=CF，G为BC的中点，
（Ⅰ）求证：FG∥平面BDE；
（Ⅱ）求平面BDE与平面BCF所成锐二面角的大小；
（Ⅲ）求四面体B-DEF的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）运用中的确定EO∥FG，再运用定理判断，
（Ⅱ）判断：平面BDE⊥平面ABCD，平面ABCD⊥平面BFC，得出∠BDC为平面BDE与平面BCF所成锐二面角的平面角，很容易就求解了．
（Ⅲ）求出底面积，高，运用体积公式求解即可．

解答： （Ⅰ）证明：设AC与BD交于点O，则O为AC的中点，
连结EC，CG，由于G为BC的中点，
故GO

∥

.

1

2

AB，又EF

∥

.

1

2

AB，
∴GO

∥

.

EF，∴四边形EOGF是平行四边形，
∴EO∥FG，
∵EO?平面EDB，FG不包含于平面EDB，
∴FG∥平面BDE．
（Ⅱ）在Rt△BCF中，BF=CF，G为BC的中点，
∵EF⊥FB，CF⊥FB，
∴BF⊥平面CDEF，
∴CD⊥BF，
∵CD⊥BC，
∴CD⊥平面BFC，
∴平面ABCD⊥平面BFC，
∵FG⊥BC，EO∥GF
∴FG⊥平面ABCD，EO⊥平面ABCD，
∴平面BDE⊥平面ABCD，
∴∠BDC为平面BDE与平面BCF所成锐二面角的平面角，
∵四边形ABCD是正方形，∴二面角的大小45°；
（Ⅲ）△DEF的面积为

1

2

×EF×FC=

1

2

×1×

2

=

2

2

三棱锥B-DEF的高为BF=

2

，
∴三棱锥B-DEF的体积为

1

3

×

2

2

×

2

=

1

3

故四面体B-DEF的体积为：

1

3

点评：本题综合考察了空间几何体中直线，平面的平行，垂直问题，求解有关的几何体的体积，夹角问题．属于难题．