Question

15．点P是曲线y=x²-lnx上任意一点，则点P到直线y=x+2的最小距离为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 求出平行于直线y=x+2且与曲线y=x²-lnx相切的切点坐标，再利用点到直线的距离公式可得结论．

解答 解：设P（x，y），则y′=2x-$\frac{1}{x}$（x＞0）
令2x-$\frac{1}{x}$=1，则（x-1）（2x+1）=0，
∵x＞0，∴x=1，
∴y=1，即平行于直线y=x+2且与曲线y=x²-lnx相切的切点坐标为（1，1）．
由点到直线的距离公式可得d=$\frac{|1-1+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$．
故选：B．

点评 本题考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式，考查学生的计算能力，属于基础题．