Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左、右顶点分别为A、B，右焦点为F（

3

，0），
一条渐近线的方程为y=-

2

2

x，点P为双曲线上不同于A、B的任意一点，过P作x轴的垂线交双曲线于另一点Q．
（I）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）求直线AP与直线BQ的交点M的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过点N（l，0）作直线l与（Ⅱ）中轨迹E交于不同两点R、S，已知点T（2，0），设

NR

=λ

NS

，当λ∈[-2，-1]时，求|

TR

+

TS

|的取值范围．

Answer 1

分析：（I）利用双曲线的右焦点为F（

3

，0），一条渐近线的方程为y=-

2

2

x，结合c²=a²+b²，可求双曲线C的方程；（Ⅱ）由A，M，P三点共线、B，M，Q三点共线，确定坐标之间的关系，利用双曲线方程，可得直线AP与直线BQ的交点M的轨迹E的方程；
（Ⅲ）①若直线l的斜率为0，不满足；
②当直线l的斜率不为0时，设方程为x=ty+1，代入

x2

2

+y2=1，利用韦达定理，及

NR

=λ

NS

，|

TR

+

TS

|2=[t（y₁+y₂）-2]²+（y₁+y₂）²=16-

28

t2+2

+

8

(t2+2)2

，即可求得结论．

解答：解：（I）∵双曲线的右焦点为F（

3

，0），一条渐近线的方程为y=-

2

2

x，
∴c=

3

，

b

a

=

2

2

∵c²=a²+b²，∴a=

2

，b=1
∴双曲线C的方程为

x2

2

-y2=1；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀），Q（x₀，-y₀），M（x，y），A（-

2

，0)，B（

2

，0)
由A，M，P三点共线得：（x₀+

2

）y=y₀（x+

2

）
由B，M，Q三点共线得：（x₀-

2

）y=-y₀（x-

2

）
∴x0=

2

x

，y0=

2 y

x

∵

x02

2

-y02=1
∴

x2

2

+y2=1
∴直线AP与直线BQ的交点M的轨迹E的方程为

x2

2

+y2=1(x≠0，y≠0)；
（Ⅲ）①若直线l的斜率为0，则R（-

2

，0），S（

2

，0），N（1，0），
∴

NR

=(-

2

-1，0)，

NS

=(

2

-1，0)
∴λ=-(3+2

2

)∉[-2，-1]
②当直线l的斜率不为0时，设方程为x=ty+1，代入

x2

2

+y2=1，可得（t²+2）y²+2ty-1=0
设R（x₁，y₁），S（x₂，y₂）（y₁≠0，y₂≠0），则y₁+y₂=-

2t

t2+2

，y₁y₂=-

1

t2+2

∵

NR

=λ

NS

，∴y₁=λy₂，∴λ=

y1

y2

，λ＜0
∴λ+

1

λ

+2=

y1

y2

+

y2

y1

+2=

(y1+y2)2

y1y2

=-

4t2

t2+2

∵λ∈[-2，-1]
∴-

1

2

≤λ+

1

λ

+2≤0
∴-

1

2

≤-

4t2

t2+2

≤0
∴0≤t²≤

2

7

∴|

TR

+

TS

|2=[t（y₁+y₂）-2]²+（y₁+y₂）²=16-

28

t2+2

+

8

(t2+2)2

令n=

1

t2+2

，则n∈[

7

16

，

1

2

]
∴|

TR

+

TS

|2=8n²-28n+16=8（n-

7

4

）²-

17

2

∴n=

1

2

时，|

TR

+

TS

|2_min=4；n=

7

16

时，|

TR

+

TS

|2max=

169

32

∴|

TR

+

TS

|∈[2，

13 2

8

]．

点评：本题考查双曲线的方程，考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查韦达定理，考查学生的计算能力，综合性强．