Question

已知定直线l：x=1和定点M（t，0）（t∈R），动点P到M的距离等于点P到直线l距离的2倍．
（1）求动点P的轨迹方程，并讨论它表示什么曲线；
（2）当t=4时，设点P的轨迹为曲线C，过点M作倾斜角为θ（θ＞0）的直线交曲线C于A、B两点，直线l与x轴交于点N．若点N恰好落在以线段AB为直径的圆上，求θ的值．

Answer 1

分析：（1）设P（x，y），则由题意得

(x-t)2+y2

=2|x-1|，化简得3x²-y²+2（t-4）x+4-t²=0，由此能够确定动点P的轨迹方程和它表示的曲线．
（2）当t=4时，C：

x2

4

-

y2

12

=1，M（4，0），N（1，0）．由题意知 NA⊥NB，所以

NA

•

NB

=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则当AB与x轴垂直时，不合题意；当AB与x轴不垂直时，设AB：y=k（x-4），代入双曲线方程并整理得：（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0，由此能够求出θ的值．

解答：解：（1）设P（x，y），则由题意得

(x-t)2+y2

=2|x-1|，
化简得3x²-y²+2（t-4）x+4-t²=0，
3(x+

t-4

3

)2-y2=

(t-1)2

3

，…（4分）
当t=1时，化简得 y=±

3

（x-1），表示两条直线；
当t≠1时，表示焦点在x轴上的双曲线．…（6分）；
（2）当t=4时，C：

x2

4

-

y2

12

=1，M（4，0），N（1，0）．
由题意知 NA⊥NB，
所以

NA

•

NB

=0，…（8分）；
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则当AB与x轴垂直时，

NA

•

NB

≠0，不合题意；
当AB与x轴不垂直时，设AB：y=k（x-4），代入双曲线方程并整理得：
（3-k²）x²+8k²x-16k²-12=0，
由

NA

•

NB

=0得（x₁-1）（x₂-2）+y₁y₂=0
所以  （k²+1）x₁x₂-（4k²+1）（x₁+x₂）+16k²+1=0，
化简整理得k²=

1

3

，
所以k=±

3 3

3

，…（11分）
经检验，均符合题意．
所以θ=30°或150°．…（12分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．