Question

【题目】已知椭圆过点P（2，1）．

（1）求椭圆C的方程，并求其离心率；

（2）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析

【解析】

（1）将点代入椭圆方程，求出，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（2）设直线，，设点的坐标为，，分别求出，，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系即可得结果.

（1）由椭圆方程椭圆过点P（2，1），可得．

所以，

所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，

（2）直线AB与直线OP平行．证明如下：

设直线，，

设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），

由得，

∴，∴

同理，所以，

由，

有，

因为A在第四象限，所以，且A不在直线OP上．

∴，

又，故，

所以直线与直线平行．