Question

【题目】已知函数有两个零点、，，则下面说法不正确的是（ ）

A.B.

C.D.有极小值点，且

Answer 1

【答案】C

【解析】

先证明出对数平均不等式，由题意得出，将两式作差结合对数平均不等式可判断出A、B选项的正误，利用导数分析函数的单调性，结合该函数的极值以及该函数有两个零点可判断出选项的正误，求出极值点，将中两等式相加可判断D选项的正误.

先证明对数平均不等式.

先考虑不等式，设，

即证，即证，令，即证不等式.

构造函数，则，

所以，函数在上单调递增，则，

当，且时，；

接下来考虑不等式，设，

即证，即证，设，即证不等式.

构造函数，则，

所以，函数在上单调递增，则，

当，且时，有.

即当，且时，.

对于C选项，，.

①当时，对于任意恒成立，此时函数在上单调递增，该函数最多有一个零点；

②当时，令，得.

当时，，当时，.

所以，函数在上单调递减，在上单调递增.

所以，函数在处取得极小值，

由于该函数有两个零点，则，

即，解得，C选项错误；

对于A、B选项，由于函数有两个零点、，且，

由于，则，，且有，

则，两个等式两边取自然对数得，

两式相减得，，

由对数平均不等式得，即，

，，A、B选项都正确；

对于D选项，由C选项可知，，

将中两个等式相加得，

，即，D选项正确.

故选：C.