Question

【题目】若无穷数列满足对所有正整数成立，则称为“数列”，现已知数列是“数列”.

（1）若，求的值；

（2）若对所有成立，且存在使得，求的所有可能值，并求出相应的的通项公式；

（3）数列满足，证明：是等比数列当且仅当是等差数列。

Answer 1

【答案】（1）或

（2），

（3）证明见解析

【解析】

（1）根据已知条件列方程求解即可；

（2）先由已知猜想，再结合与正整数有关的命题的证明，通常考虑用数学归纳法即可得证；

（3）按数列是否为等差数列分类证明，可以用反证法来证明结论.

解：（1）由已知可得：，

又，即，

解得或；

（2）当时，，又，

则，则与已知矛盾，

即，

当，可得，，

猜想：，

证明：①当时，成立，

② 假设当，时，结论成立，即，

，

那么当时，，依然成立，

综上可得：；

（3）假设是等差数列，令，则，

即，可得,

则，化简整理得：成立,

因为且，则,则，则为非零的常数列的等差数列，从而得证，

若不是等差数列，则，（含变量的式子，非常数），

则，根据累加法可得常数，

故不可能是等比数列，

故是等比数列当且仅当是等差数列.