Question

【题目】已知、是定义在实数集上的实值函数，如果存在，使得对任何，都有，那么称比高兴，如果对任何，都存在，使得，那么称比幸运，对于实数和上述函数，定义.

（1）①，，判断是否比高兴？

②，，判断是否比幸运？

（2）判断下列命题是否正确？并说明理由：

①如果比高兴，比高兴，那么比高兴；

②如果比幸运，比幸运，那么比幸运；

（3）证明：对每个函数，均存在函数，使得对任何实数，都比幸运，也比幸运.

Answer 1

【答案】（1）①比高兴；②比幸运；（2）①正确；②不正确；（3）证明见解析.

【解析】

(1)直接根据高兴和幸运的定义求解判断即可.
(2)①根据高兴的定义,分别取存在分别满足比高兴与比高兴,再取的较大值进行证明即可.

②由题可直接举出带有周期性的函数反例正余弦函数即可.

(3)由题意知存在对任何,都存在,使得.且对每个函数,均存在函数,使得对任何实数,都比幸运,也比幸运,故对任何,都存在,使得与.故可以考虑构造特殊函数等于加减一个能消除任意实数的影响的函数来证明.

(1)①由,,当时,,解得或.

故存在,使得对任何,都有,即比高兴
②由题意,对任何,都存在为有理数.此时,又,此时为无理数,故,此时有,故.

故满足对任何,都存在,使得.故比幸运.

(2)①由题得, 存在,使得对任何,都有,同时

存在,使得对任何,都有.

取,则对任何,都有,

且对任何,都有.

即存在,对任何,都有,即比高兴.

故①正确.

②由题,令,

此时对任何,都存在,

此时,满足,故比幸运.

又对任何,都存在,

此时,满足,故比幸运.

但恒成立.故不存在成立.

故不比幸运.故②不正确.

(3)令函数 .

显然则满足比幸运.故设

下证明函数满足对任何实数,都比幸运,也比幸运.

1.对任意与实数 ,取.

则取任意有存在,

使得,

即.即比幸运.

2. 对任意与实数 ,取,显然

则取任意有存在,

使得

即.即比幸运.

故对每个函数,均存在函数,使得对任何实数,都比幸运,也比幸运.