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    【题目】已知数列是公差不为0的等差数列，，数列是等比数列，且，，，数列的前n项和为．

    （1）求数列的通项公式；

    （2）设，求的前n项和；

    （3）若对恒成立，求的最小值．

    【答案】（1）；（2）；（3）

    【解析】

    （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，根据，，，列方程组解方程组可得；
    （2）分和讨论，求；
    （3）令，由单调性可得，由题意可得，易得的最小值．

    解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
    则由题意可得，解得或，
    ∵数列是公差不为0的等差数列，，
    ∴数列的通项公式；
    （2）由（1）知，

    当时，，

    当时，

    ，

    综合得：
    （3）由（1）可知，

    令，，∴随着的增大而增大，
    当为奇数时，在奇数集上单调递减，，
    当为偶数时，在偶数集上单调递增，，
    ，

    对恒成立，
    ，

    ∴的最小值为．

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    【题目】已知、是定义在实数集上的实值函数，如果存在，使得对任何，都有，那么称比高兴，如果对任何，都存在，使得，那么称比幸运，对于实数和上述函数，定义.

    （1）①，，判断是否比高兴？

    ②，，判断是否比幸运？

    （2）判断下列命题是否正确？并说明理由：

    ①如果比高兴，比高兴，那么比高兴；

    ②如果比幸运，比幸运，那么比幸运；

    （3）证明：对每个函数，均存在函数，使得对任何实数，都比幸运，也比幸运.

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    【题目】已知函数

    （1）讨论的单调性；

    （2）当时，，求的取值范围.

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    【题目】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面,,，，为中点．

    （Ⅰ）求证：∥平面；

    （Ⅱ）求二面角的余弦值；

    （Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

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    【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，设过点的直线被椭圆截得线段,

    当轴时，.

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若点为椭圆的左顶点，是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线的斜率分别为，若，试问直线是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

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    【题目】若存在常数，使得数列满足对一切恒成立，则称为可控数列，.

    （1）若，，问有多少种可能？

    （2）若是递增数列，，且对任意的，数列，，成等差数列，判断是否为可控数列？说明理由；

    （3）设单调的可控数列的首项，前项和为，即.问的极限是否存在，若存在，求出与的关系式；若不存在，请说明理由.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】已知椭圆长轴的一个端点是抛物线的焦点，且椭圆焦点与抛物线焦点的距离是1。

    （1）求椭圆的标准方程；

    （2）若是椭圆的左右端点，为原点，是椭圆上异于的任意一点，直线分别交轴于，问是否为定值，说明理由。

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    【题目】有一容积为的正方体容器，在棱、和面对角线的中点各有一小孔、、，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（ ）

    A.B.C.D.

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    【题目】函数和有相同的公切线，则实数a的取值范围为_____________．

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