Question

【题目】若存在常数，使得数列满足对一切恒成立，则称为可控数列，.

（1）若，，问有多少种可能？

（2）若是递增数列，，且对任意的，数列，，成等差数列，判断是否为可控数列？说明理由；

（3）设单调的可控数列的首项，前项和为，即.问的极限是否存在，若存在，求出与的关系式；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）2017种；（2）是；见解析；（3）极限存在，此时

【解析】

（1）依据定义验证利用枚举法即得结果；

（2）根据，，成等差数列，得到；再根据是递增数列，得到，最后得；

（3）当为单调递增时，；当为单调递减时，；利用累加法求得数列的通项，再对数列进行分组求和后求极限即得.

（1）当，时，有，用枚举法，得：

；

，；

，，；

，，，；

，，， .

我们发现：

当为奇数时，项有种可能；

当为偶数时，项有种可能；

故有种可能；

（2），，成等差数列，

，变形得：，

又是递增数列，

，

即

，，

即

所以命题得证；

（3）（ⅰ）若数列为单调递增数列，则：

，由累加法得：

，

对数列进行分组求和得：，

极限不存在；

（ⅱ）若数列为单调递减数列，则：

，由累加法得：

，

对数列进行分组求和得：

，极限存在，此时.