Question

【题目】如图，已知点是轴左侧（不含轴）一点，抛物线上存在不同的两点、，满足、的中点均在抛物线上.

（1）求抛物线的焦点到准线的距离；

（2）设中点为，且，，证明：；

（3）若是曲线（）上的动点，求面积的最小值.

Answer 1

【答案】（1）2；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

（1）直接利用抛物线定义得到答案.

（2）设，，，根据中点在抛物线上得到

，同理得到是二次方程的两不等实根，计算得到答案.

（3）设，代换得到计算得到答案.

（1）焦点坐标为（1,0），准线方程为x＝－1，所以，焦点到准线的距离为2.

（2）设，，，

则中点为，

由中点在抛物线上可得，

化简得，显然，

且对也有，

所以是二次方程的两不等实根，

所以，.

（3），

由（1）可得，，

，

此时在半椭圆上，

∴，

∵，∴，

∴，

，

所以，

，所以，

即的面积的最小值是.