Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面,,，，为中点．

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值；

（Ⅲ）在棱上是否存在点，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（I）见解析； （II）； （Ⅲ）答案见解析 .

【解析】

(Ⅰ)由题意结合三角形中位线的性质和线面平行的判定定理即可证得题中的结论；

(Ⅱ)由题意建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后结合法向量可得二面角的余弦值；

(Ⅲ)假设存在满足题意的点，由题意结合点的坐标和向量垂直的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可确定的值.

（I）设交于点，连结.

因为底面是矩形,所以为中点 .

又因为为中点 , 所以∥.

因为平面平面,所以∥平面.

（II）取的中点，连结，.

因为底面为矩形,所以.

因为，,

所以∥，所以.

又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.

所以PO⊥平面ABCD，

如图，建立空间直角坐标系,则，

设平面的法向量为，

所以

令，则，所以.

平面的法向量为，则.

如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

（Ⅲ）在棱上存在点, 使.

设,则.　

因为,所以.

.

因为,所以.

所以，解得.

所以在棱上存在点,使，且.