Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，为的中点，点在平面内的射影在线段上.

(1)求证：平面；

(2)若是正三角形，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）设点在平面内的射影，先根据射影得，再根据计算得，最后根据线面垂直判定定理得结果，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立坐标解得面与面的法向量，再根据向量数量积得法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角关系得结果.

(1)证明：设点在平面内的射影，则，平面，

平面，因平面，所以.

在中，，，则，

在中，，，则，

故，故

因，故平面.

(2)以为坐标原点，，所在的直线分别为，轴正半轴,垂直平面的直线为z轴建系

面的法向量.，设面的法向量，则令得

因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为.