Question

【题目】是定义在区间上且同时满足如下条件的函数所组成的集合：

①对任意的，都有；

②存在常数，使得对任意的，都有

（1）设，试判断是否属于集合；

（2）若，如果存在，使得，求证：满足条件的是唯一的；

（3）设，且，试求参数的取值范围

Answer 1

【答案】（1）是的元素；（2）证明见解析；（3）

【解析】

（1）构造函数f（x）＝φ（x）xx2x+1，判断单调性求最值即可证明

（2）要证明唯一性通过反证法来证明，假设满足这样条件的x0有两个，导出矛盾．

（3）转化为c（x2﹣x1）恒成立，利用单调性求最值求解

（1）x∈[1，2]，所以φ（x）∈（，）

令f（x）＝φ（x）xx2x+1，则f'（x）x，

因为x∈[1，2]，所以f'（x）≤0，所以f（x）在[1，2]上单调递减，

对任意1≤x1≤x2≤2，f（x1）≤f（x2）φ（x2）﹣φ（x1）（x2﹣x1）|φ（x1）﹣φ（x2）||x1﹣x2|,即存在

所以φ（x）∈A．

（2）假设存在不同的两个数a、b∈（1，2），使得φ（a）＝a，φ（b）＝b，

因为φ（x）∈A，所以|φ（a）﹣φ（b）|＝|a﹣b|≤c|a﹣b|，

因为a≠b，所以|a﹣b|＞0，所以1≤c，与c＜1矛盾．

所以满足x0＝φ（x0）的x0是唯一的．

（3）因为φ（x）单调递增，故φ（x）∈（1，2），所以，解得b∈（，）；

对任意1≤x1≤x2≤2，|φ（x1）﹣φ（x2）|c（x2﹣x1）

所以对任意1≤x1≤x2≤2恒成立，

所以b．

综上b∈（，）．