Question

【题目】已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆上一动点，当的面积最大时，其内切圆半径为，设过点的直线被椭圆截得线段,

当轴时，.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若点为椭圆的左顶点，是椭圆上异于左、右顶点的两点，设直线的斜率分别为，若，试问直线是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直线过定点，定点坐标为.

【解析】

（1）根据三角形内切圆的性质得到的关系，结合已知条件，可求椭圆方程。

（2）在（1）的条件下，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，代入椭圆方程，运用韦达定理和直线的斜率公式，化简整理，再由直线恒过定点的求法，即可得到所求定点，切记在斜率不存在时进行检验。

解：（1）由题意及三角形内切圆的性质可得，得①

将代入，结合②，得，

所以③，由①②③得

故椭圆的标准方程为

（2）设点的坐标分别为，.

①当直线的斜率不存在时，由题意得或，

直线的方程为

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

联立得，消去得，

由，得

）

由可得，

得，

整理得

由（1）和（2）得，解得或

当时，直线的方程为，过定点，不合题意；

当时，直线的方程为，过定点，

综上直线过定点，定点坐标为.