Question

【题目】设满足以下两个条件的有穷数列为阶“期待数列”：①；②.

(1)分别写出一个单调递增的3阶和4阶“期待数列”；

(2)若某2013阶“期待数列”是等差数列，求该数列的通项公式；

(3)记阶“期待数列”的前项和为，试证：.

Answer 1

【答案】（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，，，为四阶期待数列；(2)；(3)证明见解析.

【解析】

（1）数列，0，为三阶期待数列，数列，，，为四阶期待数列．

（2）设该2013阶“期待数列”的公差为，由于，可得，，对分类讨论，利用等差数列的通项公式即可得出．

（3）当时，显然成立；当时，根据条件①得：，即，再利用绝对值不等式的性质即可得出．

解：（1）数列，0，为三阶期待数列，

数列，，，为四阶期待数列．

（2）设该2013阶“期待数列”的公差为，

，，

，即，

，

当时，与期待数列的条件①②矛盾，

当时，据期待数列的条件①②可得，

，即，

，，

当时，同理可得，，．

（3）当时，显然成立；

当时，根据条件①得：，

即，

，

，2，，．