Question

【题目】设是定义域为的函数，对任意，都满足：，，且当时，.

（1）请指出在区间上的奇偶性、单调区间、零点；

（2）试证明是周期函数，并求其在区间（）上的解析式；

（3）方程有三个不等根，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）偶函数，上递减，上递增，零点；（2）证明见解析，，；（3）（）.

【解析】

根据，可推出函数为偶函数，即可求出（2）由可推出周期为2，根据周期及奇偶性可求出函数在上的解析式（3）在一个周期内研究即可，利用导数求出直线与相切时的截距，过点时直线的截距，即可求出方程有3个不等实根时的取值范围.

因为，，

所以，

所以，函数为定义域R上的偶函数，

故在区间上是偶函数，在是递减区间，是递增区间，零点是0.

因为，

所以，

故函数是周期为2的周期函数.

设，则，，

所以，

又函数是偶函数，且周期为2，

所以，

故，.

（3）当时，，

在周期内，当直线过点时，即时，直线与函数有2个交点，方程有两个不等的实根，向下平移直线时，与函数有3个交点，当直线与（）相切时，有2个交点，

此时，由得：，

因为相切，所以，

解得，

故当时，直线与的图象有3个交点，即有3个不等的实根.