Question

求值：
（1）0.027-

1

3

-（-

1

7

）-2+256

3

4

-3^-1+（

2

-1）⁰
（2）已知cos（

π

4

+x）=

3

5

，

17π

12

＜x＜

7π

4

，求

sin2x+2sin2x

1-tanx

的值．

Answer 1

考点：三角函数的恒等变换及化简求值,有理数指数幂的运算性质

专题：三角函数的求值

分析：（1）利用有理数指数幂的运算性质，对给出的关系式化简即可；
（2）利用三角函数的恒等变换，化简得：

sin2x+2sin2x

1-tanx

=sin2x•tan（

π

4

+x），依题意，分别求得sin2x与tan（

π

4

+x）的值，即可求得答案．

解答： 解：（1）0.027-

1

3

-(-

1

7

)-2+256

3

4

-3-1+(

2

-1)0=(

1000

27

)

1

3

-(-7)2+(28)

3

4

-

1

3

+1
=(

103

33

)

1

3

-49+26-

1

3

+1=

10

3

-49+64-

1

3

+1=19．

（2）

sin2x+2sin2x

1-tanx

=

2sinxcosx+2sin2x

1- sinx cosx

=

2sinxcosx(cosx+sinx)

cosx-sinx

=

sin2x(1+tanx)

1-tanx

=sin2x•tan（

π

4

+x）．
∵

17π

12

＜x＜

7π

4

，∴

5π

3

＜x+

π

4

＜2π，又∵cos（

π

4

+x）=

3

5

，∴sin（

π

4

+x）=-

4

5

．
∴tan（

π

4

+x）=-

4

3

．
∴cosx=cos[（

π

4

+x）-

π

4

]=cos（

π

4

+x）cos

π

4

+sin（

π

4

+x）sin

π

4

=

2

2

×（

3

5

-

4

5

）=-

2

10

．
∴sinx=sin[（

π

4

+x）-

π

4

]=sin（

π

4

+x）cos

π

4

-sin

π

4

cos（

π

4

+x）=-

7 2

10

，
sin2x=

7

25

．∴

sin2x+2sin2x

1-tanx

=-

28

75

．

点评：本题考查有理数指数幂的运算性质与三角函数的恒等变换及化简求值，考查运算求解能力，属于中档题．