Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，若对于所有的自然数n，都有Sn=

n(a1+an)

2

，证明{a_n}是等差数列．

Answer 1

分析：本小题考查等差数列的证明方法，数学归纳法及推理论证能力．
等差数列的证明是数列的常见题型，本题可用两种方法：
一是用数学归纳法，适用于理科，因为只要能证明{a_n}的通项公式满足等差数列的通项公式a_n=a₁+（n-1）d（n∈N），问题就可得证，这显然是与自然序号n有关的命题，故可以选择数学归纳法；
二是数列用定义证明，即证明a_n-a_n-1=m（常数），利用已知前n项和Sn=

n(a1+an)

2

，首先利用a_n=s_n-s_n-1表示出a_n，然后可以计算a_n-a_n-1=m证明之，

解答：证明：法一：
令d=a₂-a₁．
下面用数学归纳法证明a_n=a₁+（n-1）d（n∈N）．
（1）当n=1时上述等式为恒等式a₁=a₁．
当n=2时，a₁+（2-1）d=a₁+（a₂-a₁）=a₂，等式成立．
（2）假设当n=k（k≥2）时命题成立，a_k=a₁+（k-1）d．由题设，有
S_k=

k(a1+ak)

2

，S_k+1=

(k+1)(a1+ak+1)

2

，又S_k+1=S_k+a_k+1
∴（k+1）

(a1+ak+1)

2

=

k(a1+ak)

2

+ak+1
把a_k=a₁+（k-1）d代入上式，得
（k+1）（a₁+a_k+1）=2ka₁+k（k-1）d+2a_k+1．
整理得（k-1）a_k+1=（k-1）a₁+k（k-1）d．
∵k≥2，∴a_k+1=a₁+kd．即当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），等式对所有的自然数n成立，从而{a_n}是等差数列
法二：
当n≥2时，由题设，Sn-1=

(n-1)(a1+an-1)

2

，Sn=

n(a1+an)

2

．
所以a_n=S_n-S_n-1=

n(a1+an)

2

-

(n-1)(a1+an-1)

2

同理有
a_n+1=

(n+1)(a1+an-1)

2

-

n(a1+an)

2

．
从而
a_n+1-a_n=

(n+1)(a1+an-1)

2

-n（a₁+a_n）+

(n-1)(a1+an-1)

2

，
整理得a_n+1-a_n=a_n-a_n-1═a₂-a₁
从而{a_n}是等差数列．

点评：等差数列的证明在高考中常见，是高考的重要题型，本题就是全国高考题．
等差数列的证明最常用的有两种方法：1．用定义证明，即证明a_n-a_n-1=m（常数），有时题目很简单，很快可求证，但有时则需要一定的变形技巧，这需要多做题，慢慢就会有感觉的，本题就有些复杂． 2．用等差数列的性质证明，即证明2a_n=a_n-1+a_n+1，此法不适用于本题，对于给出数列通项公式的证明，此法比较方便．
另外本题因为是与自然序号相关的命题，所以法一运用了数学归纳法，尽管繁琐，但思路清晰．