Question

【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆的左焦点为，椭圆上任意点到的最远距离是，过直线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆交于不同的两点、，点关于轴的对称点为.

(1)求椭圆的方程；

(2)求证：、、三点共线；

(3)求面积的最大值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)证明见解析；(Ⅲ).

【解析】

(Ⅰ)由题意得到关于a,b,c的方程组，求得a,b的值即可确定椭圆方程；

(Ⅱ)设直线的方程为，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理证明即可证得题中的结论.

(Ⅲ)由题意可得的面积，结合均值不等式的结论确定面积的最大值即可.

(Ⅰ)由题意可得：，解得：，

故椭圆的离心率为：.

(Ⅱ)结合(Ⅰ)中的椭圆方程可得：，故，

设直线的方程为，

联立直线方程与椭圆方程：可得：

.

直线与椭圆相交，则：，

解得：或.

设，，

则：,

故：

将代入上式可得：，

故三点共线；

(Ⅲ)结合(Ⅱ)中的结论可得：

的面积

.

当且仅当时等号成立，故的面积的最大值为.