Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，点O是对角线AC与BD的交点，AB=2，∠BAD=60°，M是PD的中点．

（Ⅰ）求证：OM∥平面PAB；

（Ⅱ）平面PBD⊥平面PAC；

（Ⅲ）当三棱锥C﹣PBD的体积等于 时，求PA的长．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）见证明（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）先证明OM∥PB，再证明OM∥平面PAB; （Ⅱ）先证明BD⊥平面PAC，再证明平面PBD⊥平面PAC；（Ⅲ）根据求出PA的长.

（Ⅰ）

证明：在△PBD中，因为O，M分别是BD，PD的中点，

所以OM∥PB．又OM 平面PAB, PB平面PAB，

所以OM∥平面PAB．

（Ⅱ）因为底面ABCD是菱形，所以BD⊥AC．

因为PA⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

所以PA⊥BD．又AC∩PA=A，

所以BD⊥平面PAC．

又BD平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAC．

（Ⅲ）因为底面ABCD是菱形，且AB=2，∠BAD=60°，

所以

又 ，三棱锥的高为PA，

所以 ，解得 ．